有一天, 我和你在一起做布朗尼蛋糕。我们兴致勃勃地捝拌着面糊, 期待着即将诞生的巧克力奇迹。但在预热烤箱时, 我们突然发现橱柜里竟没有合适的烤盘, 唯一可以用的烤盘边长比烹任书里建议的长一倍。该怎么办呢?
由于需要将大烤盘装满,我们打算把配方中的配料都增加一倍,可是装着装着, 我们感觉好像还是不太够, 仔细研究后才发现, 现在需票的配料量是原来的4倍。 这是怎么回事呢?当烤盘固定高度时,我们可以将它看作二维图形,有长也有宽。当长度翻倍了,面积有也翻倍了;宽度翻倍了,面积又翻倍了。所以,烤盘的面积实际上经过了两次翻倍,蛋糕变成了原来的4倍大, 所用的配料量都要乘以 4 。
当供扩大任意一个矩形时,类似的倩况都会发生。想把长和宽都扩大到原来的 3 倍? 那么面积将扩大到原来的 9 倍。想把长和宽都扩大到原来 的 5 倍? 那么面积将扩大到原来的 25 倍。
或者更准确地说:当边长分别扩大至 $r$ 倍时, 面积将变成原先的 $r^2$ 倍。
除了矩形以外,以上原理还适用于其他所有的二维图形 : 梯形、三角形、圆形, 以及任何你可以将布朗尼面楜倒入其中的容器形状。当长度増加时,面积增加得更快。
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